Détermination d'un extremum

Soit `f` la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-3x+1\) .

Démontrer que la fonction `f` admet un extremum sur \(\mathbb{R}\) , donner sa valeur et préciser s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum.

Solution

Afin de prouver que la fonction `f` admet un extremum sur \(\mathbb{R}\) , on étudie ses variations.

Calculons sa dérivée : la fonction `f` est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel `x` , \(f'(x)=2x-3\) .

Étudions le signe de \(f'(x)\) :

\(f'(x)=0 \iff 2x-3=0 \iff 2x=3 \iff x=\dfrac{3}{2}\)   et la fonction affine \(x \longmapsto 2x-3\) est croissante (coefficient de \(x\) positif).

On en déduit le signe de \(f'(x)\) et les variations de `f` :

On complète le tableau en calculant l'image de \(\dfrac{3}{2}\) par la fonction `f` :

\(f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-3\times\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{9}{4}-\dfrac{9}{2}+1=\dfrac{9}{4}-\dfrac{18}{4}+\dfrac{4}{4}=-\dfrac{5}{4}\)

La fonction `f` admet donc un minimum égal à \(-\dfrac{5}{4}\) et atteint en \(x=\dfrac{3}{2}\) .

Ce résultat peut être vérifié à l'aide d'une calculatrice graphique (voir les tutoriels dans « Activités numériques »).